Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. CMR: 1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(c+a)]+1/[c^3(a+b)]=3/2
GIÚP MIK GẤP NHA. MIK CẢM ƠN TRC!!! - câu hỏi 392737

Question

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. CMR:  1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(c+a)]+1/[c^3(a+b)]>=3/2
GIÚP MIK GẤP NHA. MIK CẢM ƠN TRC!!!

thanhphongnguyen8A1 · Answer

Đáp án:
 
Giải thích các bước giải:
Với mọi số thực a,b,c và x,y,z>0 ta có:
 (a^2/x)+(b^2/y)+(c^2/z)≥(a+b+c)2/x+y+z (*)
 Dấu''='' xảy ra ⇔a/x=b/y=c/z
Thật vậy, với a,b ∈ R và x,y>0 ta có:
(a^2/x)+(b^2/y)≥(a+b)^2/x+y (**)
⇔(a^2y+b^2x)(x+y)≥xy(a+b)^2
⇔(bx-ay)≥0 (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra⇔a/x=b/y
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có:
(a^2/x)+(b^2/y)+(c^2/z)≥(a+b)^2/x+y+c^2/z≥(a+b+c)^2/x+y+z
Dấu :=: xảy ra ⇔a/x=b/y=c/z
 Ta có 1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)=(1/a^2)/(ab+ac)+(1/b^2)/(bc+ab)+(1/c^2)/(ac+bc)/
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có:
(1/a^2)/(ab+ac)+(1/b^2)/(bc+ab)+(1/c^2)/(ac+bc)≥(1/a+1/b+1/c)/2(ab+bc+ca)=(1/a+1/b+1/c)^2/2(ab+bc+ac) ( vì abc=1)
Hay (1/a^2)/(ab+ac)+(1/b^2)/(bc+ab)+(1/c^2)/(ac+bc)≥(1/2).(1/a+1/b+1/c)
Mà 1/a+1/b+1/c≥3 nên (1/a^2)/(ab+ac)+(1/b^2)/(bc+ab)+(1/c^2)/(ac+bc)≥3/2
Vậy 1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)≥3/2 (đpcm)

Hoidap247 - Hỏi Đáp Bài Tập

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. CMR: 1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(c+a)]+1/[c^3(a+b)]>=3/2 GIÚP MIK GẤP NHA. MIK CẢM ƠN TRC!!!

TRẢ LỜI

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Hoidap247 - Hỏi Đáp Bài Tập

Lưu vào

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc=1. CMR: 1/[a^3(b+c)]+1/[b^3(c+a)]+1/[c^3(a+b)]>=3/2 GIÚP MIK GẤP NHA. MIK CẢM ƠN TRC!!!

TRẢ LỜI

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?