Xét sự hội tụ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^{∞}\frac{1}{2^{n}}(1+\frac{1}{n})^{n^{2}}$.

Đáp án:

Chuỗi phân kỳ

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^n}\left(1 + \dfrac1n\right)^{n^2}\\
\text{Ta có:}\\
\quad \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[\displaystyle{n\uproot 9}]{\dfrac{1}{2^n}\left(1 + \dfrac1n\right)^{\displaystyle{n^2}}}\\
= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac12\left(1 + \dfrac1n\right)^{\displaystyle{n}}\\
= \dfrac12\lim\limits_{n\to \infty}\left(1 + \dfrac1n\right)^{\displaystyle{n}}\\
= \dfrac{e}{2} > 1\\
\text{Do đó theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi đã cho phân kỳ}
\end{array}\)