Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB, M, N di động trên nửa đường tròn sao cho M nằm trên cung AN và MN = R. Gọi I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của AN và BM. Chứng minh a) điểm I thuộc 1 đường cố định. b) điểm K thuộc 1 đường cố định.

a) Ta có: $OM=ON=MN=R\Rightarrow\Delta OMN$ đều $\Rightarrow\widehat{MON}=60^o$

Xét $\widehat{AKM}=\widehat{KAB}+\widehat{KBA}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

mà $\widehat{KAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{NOB}$ (tính chất góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm)

$\widehat{KBA}=\dfrac{1}{2}\widehat{MOA}$

$\Rightarrow\widehat{AKM}=\dfrac{1}{2}(\widehat{NOB}+\widehat{MOA})$

$=\dfrac{1}{2}(180^o-\widehat{MON})=60^o$

Ta có: $\widehat{AMB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{IMK}=90^o$

$\widehat{ANB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{INK}=90^o$

$\Rightarrow\widehat{IMK}+\widehat{INK}=180^o\Rightarrow IMKN$ nội tiếp đường tròn đường kính (IK)

$\Rightarrow\widehat{MIN}+\widehat{MKN}=180^o$

mà $\widehat{AKM}+\widehat{MKN}=180^o$ (2 góc bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{MIN}=\widehat{AKM}=60^o$

hay $\widehat{AIB}=60^o$ mà $AB$ cố định nên I đi qua 1 đường tròn cố định (đpcm)

b) Từ câu a $\Rightarrow\widehat{AKB}=180^o-\widehat{AKM}=120^o$

Do AB cố định nên K thuộc một đường tròn cố định (đpcm).