Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không có điểm chung. Kẻ OH vuông góc với đường | thẳng d tại H. Lấy điểm M bất kì thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O; R). Nối AB cắt OH, OM lần lượt tại K và I. a. Chứng minh 5 điểm M, H, A, 0, B cùng thuộc một đường tròn b. Chứng minh OK.OH=OI.OM c. Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định d. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất. Giúp mình câu c, d thôi nhé

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AM, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to MA\perp AO, MB\perp OB$

$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=\widehat{MHO}=90^o$

$\to M, H, A, O, B\in$ đường tròn đường kính $MO$

b.Do $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to OM\perp AB=I$ là trung điểm $AB$

Xét $\Delta OIK,\Delta OHM$ có:

Chung $\hat O$

$\widehat{OIK}=\widehat{OHM}(=90^o)$

$\to\Delta OIK\sim\Delta OHM(g.g)$

$\to\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OK}{OM}$

$\to OI\cdot OM=OK\cdot OH$

c.Ta có: $\Delta MAO$ vuông tại $A, AI\perp OM$

$\to OI\cdot OM=OA^2=R^2$

$\to OK\cdot OH=R^2$

$\to OK=\dfrac{R^2}{OH}$

Do $(d), (O)$ cố định
$\to H$ cố định

Mà $K\in OH, OK=\dfrac{R^2}{OH}$

$\to K$ cố định
$\to AB$ đi qua $K$ cố định

d.Ta có:

$S_{OIK}=\dfrac12IK\cdot IO=\dfrac14\cdot 2IK\cdot OK\le\dfrac14(IK^2+OK^2)=\dfrac14\cdot OK^2$ không đổi

$\to$Giá trị lớn nhất $S_{OIK}=\dfrac14OK^2$

Dấu = xảy ra khi $IK=IO\to\Delta OIK$ vuông cân tại $I\to \widehat{IOK}=45^o$

$\to M\in (d)$ và $\widehat{HOM}=45^o$