Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại trực tâm H, AB<AC. Vẽ đường kính AD của (O). Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH với (O), K khác A. Gọi L, P lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng BC và EF, AC và KD. a)Chứng minh tứ giác EHKP nội tiếp đường tròn và tâm I của đường tròn này thuộc đường thẳng BC. b)Gọi M là trung điểm của đoạn BC. Chứng minh AH = 2OM. c)Gọi T là giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác EFK, T khác K. Chứng minh rằng ba điểm L, K, T thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có KP vuông góc AH và HE vuông góc EP => EHKP nội tiếp.

Gọi H' là giao của AH và BC => AH vuông góc BC => BC || KP.

Dễ chứng minh BC là phân giác của HBK, từ đó ΔHBK là tam giác cân => H' là trung điểm BK.

Cũng suy ra được BC chia đôi HP (vì BC chia đôi HK và BC || KP), mà I trung điểm HP => I thuộc BC.

b) Dễ dàng chứng minh BHCD là hình bình hành => OM là đường trung bình của ΔAHD => AH = 2OM.

c) Dễ thấy BFEC nội tiếp => ΔLFB ~ ΔLCE (g.g) => LE.LF = LB.LC.

Gọi T' là giao thứ hai của LK với (O), khi đó BKCT' nội tiếp => ΔLKB ~ ΔLCT' (g.g) => LK.LT' = LB.LC.

Suy ra LE.LF = LK.LT' (=> LK/LE = LF/LT'), kéo theo ΔLKE ~ ΔLFT' (c.g.c).

Suy ra LKE = LFT', kéo theo EKFT' nội tiếp => T' thuộc (EFK) => T' = T.

Hay L, K, T thẳng hàng.