Tồn tại hay không tồn tại số tự nhiên n để $n^{5}$ - 5 $n^{3}$ +9n-2022 là số chính phương

Đáp án:  Không tồn tại 

 

Giải thích các bước giải:

${{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n-2022$

 

Xét $n=1,2,3,4$

Thì ${{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n-2022$ nhận giá âm nên không là số chính phương

Xét $n>5$

 

Trước tiên, ta sẽ chứng minh ${{n}^{5}}-n\,\,\,\vdots \,\,\,5$

${{n}^{5}}-n$

$=n\left( {{n}^{4}}-1 \right)$

$=n\left( {{n}^{2}}-1 \right)\left( {{n}^{2}}+1 \right)$

$=n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( {{n}^{2}}-4+5 \right)$

$=n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( {{n}^{2}}-4 \right)+5n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)$

$=n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( n-2 \right)\left( n+2 \right)+5n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)$

Ta thấy $n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( n-2 \right)\left( n+2 \right)$ là 5 số tự nhiên liên tiếp

Nên $n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( n-2 \right)\left( n+2 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,5$

Và có $5n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,5$

Do đó $=n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\left( n-2 \right)\left( n+2 \right)+5n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\,\,\,\vdots \,\,\,5$

Vậy ${{n}^{5}}-n\,\,\,\vdots \,\,\,5$

 

Tách ${{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n-2022$

$=\left( {{n}^{5}}-n \right)-5{{n}^{3}}+10n-2022$

Nhận xét:

$\begin{cases}{{n}^{5}}-n\,\,\,\vdots \,\,\,5\\5{{n}^{3}}\,\,\,\vdots \,\,\,5\\10n\,\,\,\vdots \,\,\,5\end{cases}$

Nên $\left( {{n}^{5}}-n \right)-5{{n}^{3}}+10n\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$\Rightarrow {{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n\,\,\,\vdots \,\,\,5$

$\Rightarrow {{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n$ chỉ có thể tận cùng là $0$ hoặc $5$

$\Rightarrow {{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n-2022$ chỉ có thể tận cùng là $8$ hoặc $3$

Mà số chính phương chỉ có thể tận cùng là $0,1,4,5,6,9$

Vậy nên ${{n}^{5}}-5{{n}^{3}}+9n-2022$ không là số chính phương