Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a+b+c=6 Tìm GTNN của: P = $\dfrac{a^{2} }{b+c}$ + $\dfrac{b^{2} }{a+c}$ + $\dfrac{c^{2} }{b+a}$

Cách 1: Dùng BĐT Cô - si:

Ta có:

`P = a^2/(b + c) + b^2/(a + c) + c^2/(a + b)`

`⇔ 4P = (4a^2)/(b + c) + (4b^2)/(a + c) + (4c^2)/(a + b)`

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:

`(4a^2)/(b + c) + (b + c) ≥ 2.\sqrt{(4a^2)/(b + c) . (b + c)} = 4a`

`(4b^2)/(a + c) + (a + c) ≥ 2.\sqrt{(4b^2)/(a + c) . (a + c)} = 4b`

`(4c^2)/(a + b) + (a + b) ≥ 2.\sqrt{(4c^2)/(a + b) . (a + b)} = 4c`

`⇔ (4a^2)/(b + c) + (b + c) + (4b^2)/(a + c) + (a + c) + (4c^2)/(a + b) + (a + b) ≥ 4a + 4b + 4c`

`⇔ (4a^2)/(b + c) + (4b^2)/(a + c) + (4c^2)/(a + b) ≥ 4a + 4b + 4c - (b + c) - (a + c) - (a + b) = 2(a + b + c) = 2.6 = 12`

`⇒ 4P ≥ 12`

`⇔ P ≥ 3`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: `a = b = c = 2`

$\\$

Cách 2: Dùng BĐT Svacxơ (Cauchy - Schwarz):

Áp dụng BĐT Svacxơ, ta có:

`P = a^2/(b + c) + b^2/(a + c) + c^2/(a + b) ≥ (a + b + c)^2/(b + c + a + c + a + b) = (a + b + c)^2/[2(a + b + c)] = (a + b + c)/2 = 6/2 = 3`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: `a = b = c = 2`