trong mặt phẳng tọa độ oxy,cho vecto a=(1;-2).tìm tất cả các giá trị của y để vectow b=(3;y) tạo với vecto a một góc 45 độ

Đáp án:  $y=-1$

Giải thích các bước giải:

$\overrightarrow{a}=\left( 1;-2 \right)\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow{b}=\left( 3;y \right)$

Ta có $\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}$

$\Rightarrow \cos 45{}^\circ =\dfrac{1.3-2.y}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{y}^{2}}}}$

$\Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3-2y}{\sqrt{5}.\sqrt{9+{{y}^{2}}}}$

$\Rightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{\left( 3-2y \right)}^{2}}}{5\left( 9+{{y}^{2}} \right)}$     $\left( \text{ĐK}:3-2y>0\Leftrightarrow y<\dfrac{3}{2} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{4{{y}^{2}}-12y+9}{45+5{{y}^{2}}}$

$\Rightarrow 45+5{{y}^{2}}=8{{y}^{2}}-24y+18$

$\Rightarrow 3{{y}^{2}}-24y-27=0$

$\Leftrightarrow {{y}^{2}}-8y-9=9$

$\Leftrightarrow \left( y-9 \right)\left( y+1 \right)=0$

$\Leftrightarrow y=9$ (loại)   hoặc   $y=-1$ (nhận)

Vậy $y=-1$ là giá trị cần tìm