Cho n thuộc N* chứng tỏ rằng : 1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2 không phải là số tự nhiên ! Giúp iem với ạ !!

Đáp án:

$\dfrac1{1^2}+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}\ +\,.\!.\!.+\ \dfrac1{n^2}\\=1+\dfrac1{2.2}+\dfrac1{3.3}\ +\,.\!.\!.+\ \dfrac1{n.\!n}>1\\\left\{\begin{array}{l}\dfrac1{2.2}<\dfrac1{1.2}\\\dfrac1{3.3}<\dfrac1{2.3}\\\ \ .\!.\!.\\\dfrac1{n.\!n}<\dfrac1{(n-1).\!n}\end{array}\right.\\<\dfrac1{1.2}+\dfrac1{2.3}\ +\,.\!.\!.+\ \dfrac1{(n-1).\!n}\\<1+1-\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13\ +\,.\!.\!.+\ \dfrac1{n-1}-\dfrac1n\\<1+1-\dfrac1n<1\\<2-\dfrac 1n<2\\\Rightarrow\dfrac1{1^2}+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}\ +\,.\!.\!.+\ \dfrac1{n^2}<2$

Vì biểu thức lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2 nên biểu thức không phải số tự nhiên.

Vậy ta suy ra điều phải chứng minh.

Giải thích các bước giải: