Gọi `m` là số nhỏ nhất trong ba số `(x-y)^2 ; (y-z)^2 ; (z-x)^2` Chứng minh rằng: `m<= (x^2+y^2+z^2)/2.`

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x \geqslant y \geqslant z$

$⇒ \begin{cases} x - y \geqslant 0 \\y - z \geqslant 0\\z - x \leqslant 0 \end{cases}$

Vì: `m` là số nhỏ nhất trong `3` số `(x - y)^2;\ (y - z)^2;\ (z - x)^2`

`⇒ \sqrt{m}` là số nhỏ nhất trong `3` số `x - y;\ y - z;\ z - x`

Ta có:

$\bullet\ x - y \geqslant \sqrt{m}$

$⇒ (x - y)^2 \geqslant (\sqrt{m})^2 = m$    (1)

$\bullet\ y - z \geqslant \sqrt{m}$

$⇒ (y - z)^2 \geqslant m$    (2)

$\bullet\ |z - x| = x - z = (x - y) + (y - z) \geqslant \sqrt{m} + \sqrt{m} = 2\sqrt{m}$

$⇒ (|z - x|)^2 \geqslant (2\sqrt{m})^2$

$⇔ (z - x)^2 \geqslant 4m$     (3)

Từ `(1),\ (2)` và `(3)`

$⇒ (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \geqslant m + m + 4m = 6m$

$⇔ x^2 + y^2 - 2xy + y^2 + z^2 - 2yz + x^2 + z^2 - 2xz \geqslant 6m$

$⇔ 2(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2xz \geqslant 6m$

$⇔ x^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz - 2xz \geqslant 6m$

$⇔ 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2xz)  \geqslant 6m$

$⇔ 3(x^2 + y^2 + z^2) - (x + y + z)^2 \geqslant 6m$

$⇔ 3(x^2 + y^2 + z^2) \geqslant 6m + (x + y + z)^2 \geqslant 6m$

$⇔ m \leqslant \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{2}$