Cho(O ) đường kính AC . trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O' , đường kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đường tròn tâm O' tại I( nhớ vẽ hình) 1. Tứ giác ADBE là hình gì? 2. Chứng minh DMBI nội tiếp 3. Chứng minh B,I,E Thẳng hàng và MI=MD 4. Chứng minh MC.DB=MI.DC 5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O' )

1)

Ta có $OM\bot DE$ tại $M$

Nên $M$ là trung điểm của $DE$ (quan hệ đường kính – dây cung)

Xét tứ giác $ADBE$, ta có:

     $M$ là trung điểm của $AB\left( gt \right)$

     $M$ là trung điểm của $DE\left( cmt \right)$

     $AB\bot DE$ tại $M\left( gt \right)$

Nên tứ giác $ADBE$ là hình thoi

2)

Ta có $\widehat{BIC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy tứ giác $DMBI$ có $\widehat{DMB}=\widehat{BIC}=90{}^\circ $

Nên $DMBI$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

3)

Ta có $\widehat{ADC}=90{}^\circ $ và $\widehat{BIC}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AD\bot DC$ và $BI\bot DC$

$\Rightarrow AD//BI$

Mà $AD//BE$ (vì $ADBE$ là hình thoi)

Do đó $BI\equiv BE\Rightarrow B,I,E$ thẳng hàng

Vậy $\Delta DIE$ vuông tại $I$ có $IM$ là đường trung tuyến nên $MI=MD$

4)

Vì $DMBI$ nội tiếp nên $\widehat{BMI}=\widehat{BDI}$ (cùng chắn cung $BI$)

Xét $\Delta MIC$ và $\Delta DBC$, ta có:

     $\widehat{BMI}=\widehat{BDI}\left( cmt \right)$

     $\widehat{MCI}$ là góc chung

Nên $\Delta MIC\backsim\Delta DBC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{MI}{DB}=\dfrac{MC}{DC}\Rightarrow MC.DB=MI.DC$

5)

Ta có:

     $\widehat{MIB}=\widehat{MDB}$ (vì $DMBI$ nội tiếp)

     $\widehat{MDB}=\widehat{MDA}$ (vì $ADBE$ là hình thoi)

     $\widehat{MDA}=\widehat{BCI}$ (cùng phụ $\widehat{DAM}$)

     $\widehat{BCI}=\dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{BI}$ trong $\left( O' \right)$

Nên $\widehat{MIB}=\dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{BI}$ trong $\left( O' \right)$

Vậy $MI$ là tiếp tuyến của $\left( O' \right)$