Đt (d): y = 2x + m^2 - 1 và parabol (P): y = x^2. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tìm m để độ dài đoạn thẳng HK = 2 (đơn vị độ dài)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:

$2x+m^2-1=x^2$

$\Leftrightarrow x^2-2x-m^2+1=0$ (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B $\Leftrightarrow $ (1) có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta'=1^2-(-m^2+1)=m^2>0\Leftrightarrow m\ne0$

H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành

$\Rightarrow $ hoành độ của H, K lần lượt bằng hoành độ của A và B

Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của (1) $\Rightarrow $ hoành độ của H, K bằng $x_1,x_2$

$\Rightarrow H(x_1;0)$, $K(x_2;0)$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=-m^2+1\end{cases}$

Để độ dài đoạn thẳng HK bằng 2 (đơn vị độ dài)

$\Leftrightarrow|x_1-x_2|=2$

$\Leftrightarrow(x_1-x_2)^2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow 4-4.(-m^2+1)=4$

$\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm1$ (nhận)

Vậy $m=\pm1$ thỏa mãn đề bài.