Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C bất kì thuộc đường tròn ( C khác A&B) kể tiếp tuyến tại A của đường tròn tiếp tuyến này cắt BC ở D đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E 1) Chứng minh 4 điểm A, E ,C, O thuộc cùng 1 đường tròn 2) Chứng minh BC . BD = 4R^2 và OE song song với BD 3) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F . Chứng mình BF là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)CE$ là tiếp tuyến $(O)$

$\Rightarrow \widehat{OCE}=90^\circ$

$AE$ là tiếp tuyến $(O)$

$\Rightarrow \widehat{OAE}=90^\circ$

Tứ giác $OAEC$ có $A,C$ cùng nhìn $OE$ dưới một góc $90^\circ$

$\Rightarrow OAEC$ nội tiếp hay $4$ điểm $A, E ,C, O$ thuộc cùng $1$ đường tròn

$b)\Delta BAD$, đường cao $AC$

$\Rightarrow BC.BD=AB^2=4R^2$

$AE,CE$ là hai tiếp tuyến của $(O), AE \cap CE=E$

$\Rightarrow AE=CE$

Mà $OA=OC$

$\Rightarrow OE$ là trung trực $AC$

$\Rightarrow OE \perp AC$

Mà $BD \perp AC$

$\Rightarrow OE//BD\\ c)\Delta OCB, OC=OB$

$\Rightarrow \Delta OCB$ cân tại $O$

$\Rightarrow$Đường cao $OF$ đồng thời là trung trực

$\Rightarrow FB=FC$

Xét $\Delta OBF$ và $\Delta OCF$

$OF:$ chung

$OB=OC\\ BF=CF\\ \Rightarrow \Delta OBF = \Delta OCF (c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{OBF}=\widehat{OCF}=90^\circ\\ \Rightarrow BF \perp OB$

$BF \perp OB$ tại $B, OB$ là bán kính $(O)$

$\Rightarrow BF$ là tiếp tuyến của $(O;R).$