tìm miền hội tụ của chuỗi ( xem ảnh)

Đáp án:

$x\in (-1;3)$

Giải thích các bước giải:

$\quad \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n(x-1)^n}{n^2}\qquad (1)$

Đặt $t = x - 1$ ta được chuỗi lũy thừa: $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^nt^n}{n^2}\quad (2)$

Ta có: $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)^2}}{\dfrac{2^n}{n^2}}=2$

$\Rightarrow R = 2$ là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $(2)$

$\bullet\ \ t = 2 \Rightarrow$ Chuỗi $(2)$ phân kỳ

$\bullet\ \ t = -2 \Rightarrow$ Chuỗi $(2)$ phân kỳ

$\Rightarrow$ Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $(2)$ là $t \in (-2;2)$

$\Rightarrow$ Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa $(1)$ là $x\in (-1;3)$