giải pt vi phân y'' - 6y'+9y=x. $e^{3x}$

Đáp án:

$y= (C_1 + C_2x)e^{3x} + \dfrac16x^3e^{3x}$ 

Giải thích các bước giải:

$\quad y'' - 6y'  + 9y = xe^{3x}\qquad (*)$

Phương trình đặc trưng:

$k^2 - 6k + 9 = 0 \Leftrightarrow k = 3$

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$y = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

Ta có:

$VP$ của $(*)$ có dạng: $xe^{3x}$

$\Rightarrow \alpha = 3$

$\Rightarrow$ Một nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$y = x^2e^{3x}(Ax + B) = e^{3x}(Ax^3 + Bx^2)$

$\Rightarrow y' = e^{3x}(3Ax^3 + 3(A + B)x^2 + 2Bx)$

$\Rightarrow y'' = e^{3x}(9Ax^3 + 9(2A + B)x^2 + 6(A + 2B)x + 2B)$

Thay vào $(*)$ ta được:

$e^{3x}(9Ax^3 + 9(2A + B)x^2 + 6(A + 2B)x + 2B) - 6e^{3x}(3Ax^3 + 3(A + B)x^2 + 2Bx) + 9e^{3x}(Ax^3 + Bx^2) = xe^{3x}$

$\Leftrightarrow 6Ax + 2B = x$

$\Leftrightarrow \begin{cases}A = \dfrac16\\B = 0\end{cases}$

Do đó một nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$y = \dfrac16x^3e^{3x}$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là:

$y= (C_1 + C_2x)e^{3x} + \dfrac16x^3e^{3x}$