Cho hệ phương trình: mx - y = m^{2} và 2x + my = m^{2} + 2m +2 a) giải hpt khi a=1 b) tìm m để biểu thức x^2+3y+4 nhận GTNN. tìm giá trị đó

$\begin{cases} mx-y=m^{2}     (1)\\2x+my=m^{2}+2m+2     (2) \end{cases}$  $(I)$

`a)` Từ `(1)` `=>` $y=mx-m^{2}$

Thay $y=mx-m^{2}$ vào `(2)` ta được:

$2x+m(mx-m^{2})=m^{2}+2m+2$

`<=>` $2x+m^{2}x-m^{3}=m^{2}+2m+2$

`<=>` $(m^{2}+2)x=m^{3}+m^{2}+2m+2$      $(*)$

Hệ $(I)$ có nghiệm duy nhất

$\leftrightarrow$ Phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất

`<=>` $m^{2}+2$ $\ne$ `0` `(∀ m)`

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi `m`

`b)` Ta có:

$(*)$ `<=>` $(m^{2}+2)x=m^{2}(x+1)+2(m+1)$

         `<=>` $(m^{2}+2)x=(m+1)(m^{2}+2)$

         `<=>` `x=m+1`

`=>` $y=m(m+1)-m^{2}=m^{2}+m-m^{2}=m$

Đặt $A=x^{2} + 3y+4$

`=>` $A=(m+1)^{2}+3m+4$

`=>` $A=m^{2}+2m+1+3m+4$

`=>` $A=m^{2}+5m+5$

`=>` $A=m^{2}+2m.\dfrac{5}{2} + (\dfrac{5}{2})^{2} - \dfrac{5}{4}$

`=>` $A=(m+\dfrac{5}{2})^{2}-\dfrac{5}{4}$ $≥ \dfrac{5}{4}$

$\Longrightarrow$ $A ≥ \dfrac{5}{4}$

Dấu `"="` xảy ra `<=>` $m+\dfrac{5}{2}=0$ `<=>` $m=\dfrac{-5}{2}$

Vậy GTNN của biểu thức $x^{2}+3y+4$ là $\dfrac{5}{4}$ khi $m=\dfrac{-5}{2}$