Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, AB = 2a, góc BAC = 60°. SA vuông góc với đáy. SA = a. Gọi I là trung điểm của SC. a) Chứng minh BC vuông góc (SAC), AI vuông góc (SBC). b) Tính góc giữa SB, SC và (ABC). d) Tính cosin của góc giữa SB và (SAC). e) Tính góc giữa SA và (SBC). f) Tính sin của góc giữa SC và (SAB). AI LÀM ĐÚNG, VẼ HÌNH VÀ GIẢI CHI TIẾT, ĐẦY ĐỦ VOTE 5 SAO VÀ CẢM ƠN Ạ!

Đáp án:

 b) $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$

d) $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$

e) $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$

f) $\sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\
BC \bot AC\left( {\Delta ABC;\widehat C = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)
\end{array}$

Ta có:

$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI$

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};\widehat A = {60^0};AB = 2a\\
 \Rightarrow AC = AB.\cos A = 2a.\cos {60^0} = 2a.\dfrac{1}{2} = a\\
 \Rightarrow AC = SA
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta SAC$ cân ở A $\to AI\bot SC$

Như vậy:

$\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot SC\\
AI \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$

b) Ta có:

$SA \bot \left( {ABC} \right)$$\to AB,AC$ lần lượt là hình chiếu của $SB,SC$ trên $(ABC)$

Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\\
\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}
\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta SBA;\widehat {SAB} = {90^0}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB} \right);SA = a;AB = 2a\\
 \Rightarrow \tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SBA} = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Delta SCA;\widehat {SAC} = {90^0}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC} \right);SA = a;AC = a\\
 \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0} \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}
\end{array}$

Vậy $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$

d) Ta có:

$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SC$ là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$

$\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SC} \right) = \widehat {BSC}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};AB = 2a;\widehat A = {60^0} \Rightarrow BC = AB.\sin A = a\sqrt 3 \\
\Delta SBA;\widehat {SAB} = {90^0};SA = a;AB = 2a \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 5 
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta SBC;\widehat {SCB} = {90^0}\left( {BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC} \right);SB = a\sqrt 5 ;BC = a\sqrt 3 \\
 \Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5} \Rightarrow \widehat {BSC} = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)\\
 \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)
\end{array}$

Vậy $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$

e) Ta có:

$AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SI$ là hình chiếu của $SA$ trên $(SBC)$

$\begin{array}{l}
AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SI\\
 \Rightarrow \left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SI} \right) = \widehat {ASI} = {90^0} - \widehat {SCA} = {90^0} - {45^0} = {45^0}
\end{array}$

Vậy $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$

f) Kẻ $CD\bot AB=D$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot AB\\
CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow SD$ là hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$

$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right) = \widehat {CSD}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ACD;\widehat D = {90^0};AC = a;\widehat A = {60^0}\\
 \Rightarrow CD = AC.\sin A = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array}$

$\begin{array}{l}
\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};SA = AC = a\\
 \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 2 
\end{array}$

Suy ra:

$\begin{array}{l}
\Delta SCD;\widehat {CDS} = {90^0}\left( {CD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CD \bot SD} \right);CD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};SC = a\sqrt 2 \\
 \Rightarrow \sin \widehat {CSD} = \dfrac{{CD}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\
 \Rightarrow \sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}
\end{array}$

Vậy $\sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$