Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh đường thẳng AO vuông góc với đường thẳng CD. xin giúp đỡ với ạ....

Lời giải:

Do $ABCD$ là tứ diện đều nên các mặt là hình tam giác đều.

Gọi $I$ là trung điểm cạnh $CD$, nên $\Delta BCD$: $BI\bot CD$

$\Delta ACD$: $AI\bot CD $

$BI,AI\subset(ABI)\Rightarrow CD\bot (ABI)$

Do $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta $ đều $BCD$ nên $O$ cũng là trực tâm, trọng tâm nên $O\in BI,BI\subset(ABI)\Rightarrow O\in(ABI)\Rightarrow AO\subset(ABI)$

$\Rightarrow CD\bot AO$.

Giải thích:

Nếu có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, thì đường thẳng vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng.

Đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau (cùng thuộc 1 mặt phẳng) thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa 2 đường thẳng đó.