Cho `f(x)=x^3/(1-3x+3x^2).` Hãy tính giá trị của biểu thức sau: `A=f(1/2022)+f(2/2022)+...+f(2020/2022)+f(2021/2022)`

Xét `f(1-x)`

`=(1-x)^3/(1-3(1-x)+3(1-x)^2)`

`= (1-3x +3x^2-x^3)/(1-3+3x +3(1-2x+x^2))`

`=(1-3x+3x^2-x^3)/(3x+1 - 6x +3x^2)`

`= (1-3x+3x^2-x^3)/(1 - 3x+3x^2)`

`->f(x)+f(1-x)=(x^3+1-3x+3x^2-x^3)/(1-3x+3x^2)`

`->f(x)+f(1-x)=(1-3x+3x^2)/(1-3x+3x^2)=1`

Vận dụng tính chất trên vào bài toán :

Trước hết tổng `A` có `(2021-1):1+1=2021` (số hạng)

Nếu ghép 2 số hạng vào 1 cặp thì `A` có tất cả : `2021:2=1010` dư 1 số hạng

`A=f(1/2022)+f(2/2022)+...+f(2020/2022)+f(2021/2022)`

`=[f(1/2022)+f(2021/2022)] + ... + [f (1010/2022) + f (1012/2022)]+f(1011/2022)`

`= 1+...+1+f(1/2)`

`=1010 . 1 +1/2`

`= 1010+1/2`

`= 2021/2`

Vậy `A=2021/2`