Xét hội tụ chuỗi giúp mình với

Đáp án:

Chuỗi hội tụ

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{n^{100}}{n^n}\\
\text{Ta có:}\\
\bullet\quad \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n^{100}}{n^n}\\
= \lim\limits_{n\to \infty}n^{100 -n}\\
= \lim\limits_{n\to \infty} e^{\displaystyle{\ln n^{100 -n}}}\\
= e^{\displaystyle{\lim\limits_{n\to \infty}(100-n).\ln n}}\\
= e^{\displaystyle{\lim\limits_{n\to \infty}(100-n).\lim\limits_{n\to \infty}\ln n}}\\
= e^{\displaystyle{-\infty\cdot \ln(\infty)}}\\
= e^{-\infty}\\
= 0\\
\bullet\quad \text{Xét}\ f(x) = x^{100-x},\quad \forall x\geqslant 1\\
\Leftrightarrow \ln f(x) = (100-x)\ln x\\
\Rightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)} = -\ln x + \dfrac{100-x}{x}\\
\Leftrightarrow f'(x) = -f(x)\ln x + f(x)\cdot \dfrac{100-x}{x}\\
\Leftrightarrow f'(x) = -x^{100-x}\ln x + x^{99-x}(100- x)\\
\Leftrightarrow f'(x) = -x^{99 - x}(x + x\ln x - 100)>0\quad \forall x \geqslant 1\\
\Rightarrow f(x)\ \text{nghịch biến trên $[1;+\infty)$}\\
\text{mà}\ f(n) = n^{100- n}\\
\text{nên}\ \{u_n\} = \left\{n^{100-n}\right\}\ \text{là dãy số giảm}\\
\text{Do đó theo tiêu chuẩn Leibniz, chuỗi đã cho hội tụ}
\end{array}\)