xét sự hội tụ của chuỗi giúp em với

Đáp án:

Chuỗi hội tụ

Giải thích các bước giải:

$\quad \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1.3.5\dots (2n-1)}{4.8.12\dots (4n)}\qquad (*)$

Ta có:

$1.3.5\dots (2n-1)= \dfrac{(2n)!}{2^n.n!}$

$4.8.12\dots (4n) = 4^n.n!$

Ta được:

$(*) = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\dfrac{(2n)!}{2^n.n!}}{4^n.n!}= \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(2n)!}{8^n.(n!)^2}$

Khi đó:

$\quad \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\dfrac{(2n+2)!}{8^{n+1}.[(n+1)!]^2}}{\dfrac{(2n)!}{8^n.(n!)^2}}$

$= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{8^n}{8^{n+1}}\cdot \left[\dfrac{n!}{(n+1)!}\right]^2\cdot \dfrac{(2n+2)!}{(2n)!}$

$= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac18\cdot \dfrac{1}{(n+1)^2}\cdot (2n+2)(2n+1)$

$= \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac14\cdot \dfrac{2n+1}{n+1}$

$=\dfrac12 < 1$

Do đó theo tiêu chuẩn D'Alembert, chuỗi đã cho hội tụ