cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác cmr a^3+b^3+c^3+2abc<a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Xét $VP-VT$

$=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3-2abc$

$=(ab^2+ac^2-2abc-a^3)+(a^2b+bc^2-2abc-b^3)+(a^2c+b^2c+2abc-c^3)$

$=a(b^2+c^2-2bc-a^2)+b(a^2+c^2-2ac-b^2)+c(a^2+b^2+2ab-c^2)$

$=a[(b-c)^2-a^2]+b[(a-c)^2-b^2]+c[(a+b)^2-c^2]$

$=a(b-c-a)(b-c+a)+b(a-c-b)(a-c+b)+c(a+b-c)(a+b+c)$

$=(a+b-c)[a(b-c-a)+b(a-c-b)+c(a+b+c)]$

$=(a+b-c)[ab-ac-a^2+ab-bc-b^2+ac+bc+c^2]$

$=(a+b-c)(2ab-a^2-b^2+c^2)$

$=(a+b-c)[c^2-(a-b)^2]$

$=(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)$

Do $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh $1$ tam giác

$⇒\begin{cases}a+b-c>0\\c+a-b>0\\c+a-b>0\end{cases}⇒(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)>0$

$⇒VP-VT>0⇒VP>VT(đpcm)$