Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD a.Tứ giác BEDF là hình gì?tại sao? b.cm:CH.CD=CB.CK c.cm:AB.AH+AD.AK=AC^2

a) Hình bình hành ABCD gọi $O$ là giao điểm của AC và BD $\Rightarrow O$ là trung điểm của AC, BD (tính chất )

Xét hai tam giác vuông $\Delta OEB$ và $OFD$ có:

$OB=OD$

$\widehat{BOE}=\widehat{DOF}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\Delta OEB=\Delta OFD$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow BE=DF$ (hai cạnh tương ứng)

Và có $BE//DF$ (vì cùng vuông góc với AC giả thiết)

Từ hai điều trên $\Rightarrow $ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét $\Delta HBC$ và $\Delta KDC$ có:

$\widehat{BHC}=\widehat{DKC}=90^o$ (giả thiết)

$\widehat{HBC}=\widehat{KDC}$ ($=\widehat{BAD}$ đồng vị)

$\Rightarrow\Delta HBC\sim\Delta KDC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{CH}{CK}=\dfrac{CB}{CD}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow CH.CD=CK.CB$ (đpcm)

c) Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AHC$ có:

$ \widehat A$ chung

$\widehat{AEB}=\widehat{AHC}=90^o$

$\Rightarrow\Delta AEB\sim\Delta AHC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AB}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AE.AC=AB.AH$ (1)

Xét $\Delta AFD$ và $\Delta AKC$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat{AFD}=\widehat{AKC} =90^o$

$\Rightarrow\Delta AFD=\Delta AKC$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow AF.AC=AK.AD$ (2)

Ta có OE=OF (suy ra từ $\Delta OEB=\Delta OFD$ câu a)

OA=OC (tính chất hình bình hành)

$\Rightarrow OA-OE=OC-OF$ hay $AE=FC$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

$AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC$

$=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC^2$ (đpcm)