Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi.

Xét `\triangle ABC` có :

$MA = MB (gt)$

$NB = NC (gt)$

`-> MN` là đường trung bình `\triangle ABC`

`=>` $MN // AC$ và `MN = 1/2 AC (1)`

$CMTT : PQ // AC$ và `QP = 1/2 AC (2)`

Từ `(1)` và `(2) : => MN // PQ` và `MN = PQ`

Xét tứ giác `MNPQ` có 2 điều trên `(cmt)`

`=>` Tứ giác `MNPQ` là hình bình hành 

Xét `\triangle ABD` có :

$MA = MB (gt)$

$QD = QA (gt)$

`=> QM` là đường trung bình của `\triangle ABD`

`=>` $QM // DB$ và `QM = 1/2 DB`

mà `AC= BD` ( tính chất hình thang cân )

`->MN = QM (3)`

Xét hình bình hành `MNPQ` có `(3)`

`-> MNPQ` là hình thoi