Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi O là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua O. a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật. b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = HA. Chứng minh tam giác AED vuông và tam giác BEC vuông. c) Gọi M, N lần lượt là hình chiều của E lên BD và CD, EM cắt AD tại K. Chứng minh DE = DK. d) Chứng minh H, M, N thẳng hàng.

a. Xét ΔOCD và ΔOBA có

\(\widehat {COD} = \widehat {BOA}\) (đối đỉnh)

OA=OD

OB=OC

⇒ΔOCD=ΔOBA (cgc)

⇒ \(\widehat {OBA} = \widehat {OCD}\) 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒ CD//AB

Lại có CD=AB ( 2 cạnh tương ứng)

⇒ABDC là hình bình hành

Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

⇒ABDC là hình chữ nhật

b. Xét ΔAED có H là trung điểm của AE, O là trung điểm AD 

⇒ OH là đường trung bình của ΔAED

\(\begin{array}{l}
 \to OH//DE\\
Mà:OH \bot AE\\
 \to DE \bot AE\\
 \to \widehat {AED} = 90^\circ 
\end{array}\)

⇒ΔADE vuông tại E

\(\begin{array}{l}
 \to OE = \dfrac{1}{2}AD\\
 \to OE = OA = OD
\end{array}\)

Mà ABDC là hình chữ nhật có O là trung điểm của 2 đường chéo

⇒ OA=OB=OC=OD

\(\begin{array}{l}
 \to OE = OB = OC\\
 \to OE = \dfrac{1}{2}BC
\end{array}\)

Xét ΔBEC có 

\(OE = \dfrac{1}{2}BC\)

⇒ ΔBEC vuông E ( định lý đảo về đường trung tuyến)

c. Xét DMEN có

\(\widehat {MDN} = \widehat {EDN} = \widehat {DME} = 90^\circ \)

⇒ DMEN là hình chữ nhật

⇒DM//NE hay BD//NE

\( \to \widehat {CBD} = \widehat {DEN}\) (đồng vị) 

Mà \( \to \widehat {MDE} = \widehat {DEN}\) (so le trong)

\(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}\)( Xét hình chữ nhật ABDC) 

\( \to \widehat {KDM} = \widehat {CAD}\) (so le trong)

⇒ \(\widehat {KDM} = \widehat {MDE}\)

⇒ DM là đường phân giác trong ΔKDE

Mà DM đồng thời là đường cao

⇒ ΔKDE cân tại D

⇒ DK=DE

d. Gọi I = ED ∩ MN

Xét ΔEAD có H là trung điểm của EA, I là trung điểm của ED

⇒ IH là đường trung bình 

\( \to IH//AD\)

mà \(\widehat {KDM} = \widehat {EDM} = \widehat {MNE}\)

⇒ MN // AD (do 2 góc đồng vị bằng nhau) hay MI // AD

⇒ H, M, I thẳng hàng

⇒ H, M, N thẳng hàng