Gpt: `log_3 (4^x -1) = log_4 (3^x +1)`

Đáp án:

$S = \{1\}$

Giải thích các bước giải:

$\quad \log_3(4^x - 1) = \log_4(3^x + 1)$

ĐK: $4^x - 1 > 0 \Leftrightarrow x >0$

Đặt $\log_3(4^x - 1) = \log_4(3^x + 1) = t$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3^t = 4^x - 1\\4^t = 3^x + 1\end{cases}$

$\Leftrightarrow 3^t + 4^t = 3^x + 4^x\qquad (*)$

Xét $f(u) = 3^u + 4^u$

$\Rightarrow f'(u) = 3^u\ln3 + 4^u\ln4 >0$

$\Rightarrow f(u)$ đồng biến

Ta được:

$(*)\Leftrightarrow t= x\quad $ (Hàm đặc trưng, đồng biến)

$\Leftrightarrow \log_3(4^x - 1) = x$

$\Leftrightarrow 3^x = 4^x - 1$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{3}{4}\right)^x + \left(\dfrac14\right)^x = 1$

Đặt $f(x) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^x + \left(\dfrac14\right)^x$

Phương trình trở thành: $f(x) = 1$

Ta có:

$f'(x) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^x\ln\dfrac34 + \left(\dfrac{1}{4}\right)^x\ln\dfrac14 <0$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến

$\Rightarrow f(x) = 1$ có nghiệm duy nhất

Ta lại có: $f(1) = 1$

Do đó $x = 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Vậy $S = \{1\}$