Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm. Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). a) Chứng minh AO vuông góc với BC b) Kẻ đường kính BD. Chứng minh rằng DC song song với OA; c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E. Đường thẳng AE và OC cắt nhau ở I; đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G. Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA.

a) Do $AB$ và $AC$ là hai tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$

Và $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\Rightarrow AO$ là đường trung tuyến nên $AO$ cũng là đường cao

$\Rightarrow AO\bot BC$

b) $\Delta BCD$ nội tiếp đường tròn $(BD)$

$\Rightarrow \widehat{BCD}=90^o$

$\Rightarrow CD\bot BC$

Mà theo chứng minh ở câu a $AO\bot BC$

$\Rightarrow CD\parallel AO$ (vì cùng $\bot BC$)

c) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABO$ với $OB=3$, $AO=5$ ta có:

$AB^2=AO^2-BO^2=5^2-3^2=16$

Gọi $AO\cap BC=H$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABO$ ta có:

$AB^2=AH.AO$

$\Rightarrow AH=\dfrac{AB^2}{AO}=\dfrac{16}{5}=3,2$

$\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{BO^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{25}{144}$

$\Rightarrow BH=2,4$

$\Rightarrow BC=2BH=2.2,4=4,8$

$\Rightarrow P_{ABC}=AB+AC+BC=2.AB+BC=2.4+4,8=12,8$

$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}3,2.4,8=7,68$

d) Ta có $AC\bot IO$ (*) (do $AC$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$)

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta EOD$ có:

$\widehat{ABO}=\widehat{EOD}=90^o$

$BO=OD$

$\widehat{BOA}=\widehat{ODE}$ ($AO\parallel DC$ nên có hai góc ở vị trí đồng vị)

$\Rightarrow \Delta ABO=\Delta EOD$

$\Rightarrow AB=EO$ (hai cạnh tương ứng)

Và $AB\parallel EO$ (vì cùng $\bot BD$)

$\Rightarrow ABOE$ là hình bình hành có $\widehat{AOB}=90^o$

$\Rightarrow ABOE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{AEO}=90^o$

$OE\bot AI$ (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow \Delta AOI$ có 2 đường cao $AC$ và $OE$ cắt nhau tại $G\Rightarrow G$ là trực tâm $\Delta AOI$

$\Rightarrow IG\bot AO$

Ta có: $\widehat{IOA}=\widehat{BOA}$ (do $OA$ là phân giác góc $BOC$) (1)

$\widehat{BOA}=\widehat{ODE}$ (2)

$AO\parallel ED$ và $OD\parallel AE$ (do có 2 góc $\widehat{DOE}=\widehat{AEO}=90^o$ ở vị trí đối đỉnh)

$\Rightarrow AODE$ là hình bình hành $\Rightarrow \widehat{ODE}=\widehat{OAE}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \widehat{IOA}=\widehat{OAE}$

Gọi $IG\cap AO=X$

Xét $\Delta $ vuông $AIX$ và $\Delta $ vuông $OIX$ có:

$\widehat{IOA}=\widehat{OAE}$ (cmt)

$IX$ chung

$\Rightarrow \Delta $ vuông $AIX=\Delta $ vuông $OIX$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)

$\Rightarrow IO=OA$ có thêm $IG\bot AO$ (chứng minh trên) nên $IG$ là trung trực của $AO$ (đpcm)