Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao AD, BE cắt nhau tại H, kéo dài BE cắt đường tròn O tại F. a) Chứng minh bốn điểm C,D, H, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn đó. b) Chứng minh tam giác AHF cân. c) Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE . d) Cho BC cố định và BC = R căn 3 . Xác định vị trí của A trên đường tròn O để DH .DA là lớn nhất.

Giải thích các bước giải:

a. Ta có: $AD\perp BC, BE\perp AC\to \widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90^o+90^o=180^o$

$\to H,E,C,D$ nội tiếp đường tròn đường kính (HC)

$\to I$ là trung điểm HC

b. Ta có:
$\widehat{AFE}=\widehat{AFB}=\widehat{ACB}=90^o-\widehat{DAC}=\widehat{AHE}$

$\to\Delta AHF$ cân 

c. Ta có: $\widehat{ABE}=\widehat{ACH}(+\widehat{BAE}=90^o)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta HCE$ (g.g)

Mà M, I là trung điểm AB, HC

$\to \Delta MEB\sim\Delta IEC$

$\to\widehat{MEB}=\widehat{IEC}\to ME\perp EI\to ME$ là tiếp tuyến của (CDE)

d. Ta có :
$BC=R\sqrt 3$, gọi $J$ là trung điểm của BC $\Rightarrow BJ=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{R\sqrt3}2$

$\Delta OBC$ cân đỉnh O (vì OA=OC=R) nên $OJ$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta OBJ\bot J:\sin{BOJ}=\dfrac{BJ}{BO}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow\widehat{BOJ}=60^o$

$\to \widehat{BOC}=2\widehat{BOJ}=120^o\to\widehat{BAC}=60^o$

Ta có: $\widehat{BHD}=\widehat{ACD}$ (cùng bù với $\widehat{EHD}$)

$\to\Delta BDH\sim\Delta ADC(g.g)$

$\to\dfrac{DH}{DC}=\dfrac{BD}{AD}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\to DH.DA=BD.DC\le \dfrac 14(BD+DC)^2=\dfrac 34R^2$

Dấu "=" xảy ra khi $DB=DC\to\Delta ABC$ đều.