Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm M. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C. 1) Chứng minh tam giác ABC vuông và $MA^{2}$ =MC.MB 2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh bốn điểm M, C, I, A cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AC\perp BC$

$\Rightarrow AC\perp MB$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle MAB$ vuông tại $A$ đường cao $AC$ ta được:

$\quad MA^2 = MC.MB$

b) Ta có:

$\widehat{ACB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{ACM} = 90^\circ$

$AI\perp OM \Rightarrow \widehat{AIM} = 90^\circ$

Xét tứ giác $MCIA$ có:

$\widehat{ACM} = \widehat{AIM} = 90^\circ$

$\widehat{ACM}$ và $\widehat{AIM}$ cùng nhìn cạnh $AM$

Do đó $MCIA$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow M,C,I,A$ cùng thuộc một đường tròn