Tìm các số tự nhiên n để phân số $\frac{2n+7}{5n+2}$ là phân số tối giản.

Giải thích các bước giải :

Vì n là số nguyên nên 2 n + 7 , 5 n + 2là số nguyên .

Gọi d ∈ ƯC ( 2 n + 7 , 5 n + 2 )
⇒ 2 n + 7 chia hết cho d và 5 n + 2 chia hết cho d

⇒ 5 ( 2 n + 7 ) - 2 ( 5 n + 2 ) chia hết cho d ⇒ 10 n + 35 - 10 n - 4 chia hết cho d .

⇒ 31 chia hết cho d ⇒ d ∈ { 1 ; - 1 ; 31 ; -31 }

Ta có :

2 n + 7 chia hết cho 31

⇔ 2 n + 7 + 31 chia hết cho 31 

⇔ 2 n + 38 chia hết cho 31 

⇔ 2 ( n + 19 ) chia hết cho 31

Vì ( 2 ; 31 ) = 1 ⇒ n + 19 chia hết cho 31 

⇔ n + 19 = 31 k

⇔ n = 31k - 19

+ , Nếu n = 31 k - 19

⇒ 2 n + 7 = 2 ( 31 k - 19 ) + 7 = 62 k - 38 + 7 = 62 k - 31

= 31 ( 2 k - 1 ) chia hết cho 31 mà 2 n + 7 > 2 ⇒ 2 n + 7 là hợp số ( loại )

+ , Nếu n $\neq$ 31 k - 19 thì 2 n + 7 ko chia hết cho 31 .

⇒ ƯC ( 2 n + 7 , 5 n + 2 ) = { 1 ; - 1 }

⇒ $\frac{2n+7}{5n+2}$ là PSTG ( phân số tối giản )

Vậy n \ n $\neq$ 31 k - 19  thì $\frac{2n+7}{5n+2}$ là PSTG ∀ số nguyên n .

Xin hay nhất ạ . Chúc bạn học giỏi :DDDDDD