Cho hình vuông `ABCD`, `M` là trung điểm của `AB`. Gọi `P` là điểm đối xứng với `M` qua `B`, `N` là điểm đối xứng với `C` qua `B`. `a)` Chứng minh tứ giác `MNPC` là hình thoi `b)` Chứng minh `N` đối xứng với `D` qua `M` `c)` Gọi `H` là giao điểm của `DB` và `NP`. Tính tỉ số $\frac{NP}{HP}$ ?

$\\$

`a,`

`ABCD` là hình vuông

`->hat{DAB}=hat{ABC}=hat{BCD}=hat{CDA}=90^o`

`hat{ABC}=90^o->AB\bot BC`

Hay `MP\bot NC`

`P` đối xứng `M` qua `B`

`->B` là trung điểm của `MP`

`N` đối xứng `C` qua `B`

`->B` là trung điểm của `NC`

Tứ giác `MNPC` có :

`B` là trung điểm của `MP, NC`

`-> MNPC` là hình bình hành mà `MP\bot NC`

`-> MNPC` là hình thoi

`b,`

`MNPC` là hình thoi

`->B` là trung điểm của `MP, NC`

`ABCD` là hình vuông

`->` $AD//BC$ hay $AD//NB$ và `AD=AB=BC=CD`

`AD=BC, BC=BN`

`-> AD=BN`

Tứ giác `ADBN` có :

$AD//BN, AD=BN$

`-> ADBN` là hình bình hành

`->AB` cắt `DN` tại trung điểm mỗi đường

Mà `M` là trung điểm của `AB`

`->M` là trung điểm của `DN`

`->D` đối xứng `N` qua `M`

`c,`

Gọi `K` là trung điểm của `HN`

`\triangle DNH` có :

`M,K` là trung điểm của `DN, NH`

`->MK` là đường trung bình

`->` $MK//DH$ hay $MK//BH$

`\triangle MKP` có :

$BH//MK$ và `B` là trung điểm của `MP`

`->H` là trung điểm của `KP`

`-> HK=HP` mà `NK=HK`

`-> HP=HK=NK` mà `HP + HK + NK=NP`

`-> HP=1/3 NP`

`-> (HP)/(NP)=1/3`

`-> (NP)/(HP)=3/1=3`