Đa thức f(x) khi chia cho x+1 dư 4, khi chia cho x^2 + 1 dư 2x + 3. Tìm số dư khi chia f(x) cho (x+1)(x^2+1)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Theo định lí bơ- zu ta có: $\ f(x) : x + 1 $ dư $\ 4 =>f(-1) = 4 $

Do bậc của đa thức chia $\ (x+1)(x²+1) $ là $\3 $

⇒ Bậc đa thức dư có dạng $\ ax² + bx + c $

Theo định nghĩa phép chia có dư ta có:
$\ f(x) = (x+1)(x²+1)Q(x) + ax²+ bx + c $
      $\ = (x+1)(x² +1)Q(x) + ax² + a - a + bx + c $
      $\ =(x+1)(x² +1)Q(x) + a(x² +1) - a + bx + c $
      $\ = [(x+1)Q(x) + a](x² +1) + bx + c - a $
Mà f(x) chia $\ x²+1$ dư $\ 2x+3 $ nên $\ b = 2 $ và $\ c - a = 3  (1) $
Vì $\ f(-1) = 4 => a - b + c = 4  (2) $
Từ (1)(2) ta có :

$\ {b = 2} $

$\ {c - a = 3} $

$\ {a - b + c = 4} $

$\ ⇒ {b = 2} $

    $\ {c - a = 3} $

    $\ {a + c = 6} $

$\ ⇒ {a = \frac{3}{2}} $

    $\ {b = 2} $

    $\ {c = \frac{9}{2}} $

Vậy đa thức dư là $\frac{3}{2}$x² + 2x + $\frac{9}{2}$