Bài 3. (4,0 điểm) 1) Chiều dài của một bập bênh là 5,2m, khi một đầu của bập bênh chạm đất thì cái bập bênh tạo với mặt đất một góc 23o (xem hình vẽ). Hỏi đầu còn lại của bập bênh cách mặt đất bao nhiêu mét? (Biết mặt đất phẳng, kết quả làm tròn 2 chữ số sau dấu phẩy) 9.1.1 2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. a) Cho AB = 5cm, AC = 12cm. Hãy tính tỉ số B H C H . b) Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC tại E và F. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC. c) Gọi O là trung điểm của HC và d là tiếp tuyến tại C của đường tròn đường kính HC. Đường thẳng đi qua H, vuông góc với AO và cắt d tại D. Chứng minh rằng hai tam giác HAC và COD đồng dạng

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Bài giải:

1)

Gọi đầu còn lại của bấp bênh là A, mặt đất là MB, từ A kẻ AB vuông góc với MB.

Xét ∆MAB vuông tại B: $\sin \,\widehat{AMB}=\frac{AB}{AM}$

$\Rightarrow \sin \,{{23}^{{}^\circ }}=\frac{AB}{5,2}\Rightarrow AB=\sin {{23}^{0}}\,.\,\,5,2\approx 2,03$(m).

------------------------------------------------------------------------------

2)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A ta có:

$\left\{ \begin{align}& A{{B}^{2}}=BH.BC \\ & A{{C}^{2}}=CH.BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{25}{144}$

b)

Gọi K là giao điểm của EF và AH, O là trung điểm của HC.

Ta có $\left\{ \begin{align} & AE//HF\left( \bot AC \right) \\  & HE//AF\left( \bot AB \right) \\  & \widehat{EAF}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.\Rightarrow $HEAF là hình chữ nhật.

$\Rightarrow $ AH và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow $KF = KH.

∆HFC vuông tại F có O là trung điểm của HC nên FO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của ∆HFC

$\Rightarrow FO=HO=\frac{1}{2}HC,$ hay FO là bán kính của đường tròn đường kính HC.

Xét ∆KHO và ∆KFO:

$\left\{ \begin{align}  & KH=KF \\  & KO\,chung \\  & HO=FO \\ \end{align} \right.\Rightarrow $∆KHO = ∆KFO (c – c – c)

$\Rightarrow \widehat{KHO}=\widehat{KFO}$(2 góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{KFO}={{90}^{{}^\circ }}$

$\Rightarrow EF\bot FO$.

Vậy EF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính HC.

c) $\widehat{CHD}=\widehat{HAO}$ (cùng phụ với $\widehat{DHA}$).

Xét ∆HAO và ∆CHD:

$\left\{ \begin{align}  & \widehat{HAO}=\widehat{CHD} \\ & \widehat{AHO}=\widehat{HCD}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.\Rightarrow $∆HAO $\sim $∆CHD (g – g)

$\Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{HO}{CD}$

$\Rightarrow \frac{HA}{HO}=\frac{HC}{CD}$

Mà OH = OC nên

$\frac{HA}{OC}=\frac{HC}{CD}$

Xét ∆HAC và ∆COD:

$\left\{ \begin{align}  & \frac{HA}{OC}=\frac{HC}{CD} \\  & \widehat{AHC}=\widehat{OCD}={{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow $∆HAC $\sim $∆COD (c – g – c)