Cm pt cosx +mcos2x=0 luôn có nghiệm với mọi m

Đáp án:

$m \geq \dfrac{1}{2}$ hoặc $m \leq -\dfrac{1}{2}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhân đôi $\cos2x=2{\cos}^2x-1 $ ta có:

$\cos x +m\cos2x=0$

$\Leftrightarrow \cos x + m ( 2\cos^2x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow  2m \cos^2x + \cos x - m = 0$

Đặt $\cos x=t$ $(|t|\leq1)$ ta có phương trình:

$2mt^2+t-m=0$ (1)

Ta có

$\Delta = 1 - 4.2m(-m) = 1 + 8m^2 \geq 1 > 0$ 

với mọi $m$ nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{I}t_1+t_2=\dfrac{-1}{2m}\\t_1t_1=\dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$

Ta có

$|t_1| \leq 1$ và $|t_2| \leq 1$ 

Suy ra

$0 \leq t_1^2 + t_2^2 \leq 2$

$\Leftrightarrow  0 \leq (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 \leq 2$

$\Leftrightarrow -1 \leq \dfrac{1}{4m^2} \leq 1$

Suy ra $m^2 \geq \dfrac{1}{4}$, hay $m \geq \dfrac{1}{2}$ hoặc $m \leq -\dfrac{1}{2}$.

Vậy $m \geq \dfrac{1}{2}$ hoặc $m \leq -\dfrac{1}{2}$.