Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Qua N vẽ một đường thẳng vuông góc với MP cắt AD tại Q. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt) AM = BN = CP = DQ (gt) Suy ra: PD = QA = MB = NC * Xét  △CPN và  △DQP,ta có: CP = DQ (gt) góc (PCN) = góc (PDQ) = 90° NC = DP (chứng minh trên) Suy ra: △CPN = △DQP (c.g.c) ⇒ PN = PQ (1) * Xét △DQPvà △AMQ,ta có: DQ=AM (gt)              góc(QDP) =  △(MAQ) = 90°             PD = QA ( chứng minh trên) Suy ra: △DQP = △AMQ (c.g.c) ⇒ PQ = QM (2) * Xét △AMQ và △BNM,ta có: AM=BN (gt)             góc A = góc B = 90 độ              BM = AQ ( chứng minh trên) Suy ra: △AMQ = △BNM (c.g.c) ⇒ QM = MN (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: QP =PN = NM = MQ  Hay tứ giác MNPQ là hình thoi. Mặt khác: △CPN = △PDQ ⇒  △(CNP) =  △(DPQ) Mà △(CNP) +  △(CPN) = 90 độ ⇒ △(DPQ) +  △(CPN) = 90 độ Ta có:  △(DPQ) + △(QPN) +  △(NPC ) = 180 độ Suy ra:  △(QPN ) = 180° -( △(DPQ ) +  △(NPC) )= 180° - 90° = 90° Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông. #𝙃𝙏𝙝𝙪𝙮𝙨✿