Cho hai số thực `x,y` thỏa mãn `x^2+y^2=1+xy`.Tìm GTLN của biểu thức `P=x^3y+y^3x+x^2y^2`

Bài này có thể tìm min nữa. Nhưng đề bài chỉ yêu cầu tìm max nên chỉ cần làm như thế này.

Với $xy<0$ thì $x^2+y^2=1+xy<0$ vô lý. Vậy $0\le xy$

$\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} \ge 2xy\\  \Rightarrow 1 + xy \ge 2xy\\  \Rightarrow xy \le 1\\ P = {x^3}y + {y^3}x + {x^2}{y^2}\\ P = xy\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right)\\ P = xy\left( {1+ 2xy} \right) = xy\left( {1 + 2xy} \right)\\  \le 1\left( {2 + 1} \right) = 3\\  \Rightarrow \max P = 3\\ ' = ' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y\\ {x^2} + {y^2} = 1 + xy \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} = 1 + {x^2}\\ x = y \end{array} \right.\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} = 1\\ x = y \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =  \pm 1\\ x = y \end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right),\left( { - 1; - 1} \right) \end{array}$