Chứng minh rằng: 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ... + 1/97^2 <12/49

$\\$

Ta có tính chất : $\dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$

Ta sẽ chứng minh tính chất đó đúng :

$⇔ \dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{4n}-\dfrac{1}{4(n+1)}=\dfrac{n+1}{4n(n+1)}-\dfrac{n}{4n(n+1)}\\⇔\dfrac{1}{(2n+1)^2}<\dfrac{1}{4n^2 + 4n}\\⇔4n^2+4n+1>4n^2+4n$ (Luôn đúng với $n\in N$)

Vậy tính chất trên luôn đúng.

Vận dụng vào bài ta được :

$\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{(2.1+1)^2}<\dfrac{1}{4}(1 - \dfrac{1}{2})\\\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{(2.2+1)^2}<\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})\\......\\\dfrac{1}{97^2}=\dfrac{1}{(2.48+1)^2}<\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{49})$

Cộng theo vế ta được :

$\dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{97^2}<\dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+...+\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{49})\\\Rightarrow \dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{97^2} < \dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{49})\\\Rightarrow \dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{97^2} < \dfrac{1}{4}(1-\dfrac{1}{49})\\\Rightarrow \dfrac{1}{3}^2+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{97^2} < \dfrac{12}{49}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.