Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD, góc D=70 độ. Vẽ BH ⊥A (H ∈AD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm cạnh CD,AB. a, CM tứ giác ANMD là hình thoi b, Tính góc HMC

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) ABCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB//CD$

Mà $N \in AB, M \in CD$

$\Rightarrow AN//DM (1)$

$ABCD$ là hình bình hành đồng thời là hình thang có $M,N$ lần lượt là trung điểm cạnh $CD,AB$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình $ABCD$

$\Rightarrow MN//AD (2)$

$(1)(2) \Rightarrow ANMD$ là hình bình hành

$N$ là trung điểm $AB \Rightarrow AN=\dfrac{1}{2}AB=AD$

$ANMD$ là hình bình hành có $AN=AD$

$\Rightarrow ANMD$ là hình thoi

$b) MN$ cắt $BH$ tại $E$

$MN//AD, AD \perp HB\\ \Rightarrow MN \perp HB\\ \Rightarrow ME \perp HB$

Có $MN//AD, E \in MN, H \in AD$

$\Rightarrow NE//AH$

$\Delta BAH$ có $N$ là trung điểm $AB, NE // AH$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $HB$

$\Delta MHB$ có $ME$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow \Delta MHB$ cân tại $M$

$\Rightarrow ME$ đồng thời là phân giác

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{M_2} (3)$

Chứng minh tương tự câu $a$

$\Rightarrow NBCM$ là hình bình thoi

$\Rightarrow MB$ là phân giác $\widehat{NMC}$

$\Rightarrow \widehat{M_2}=\widehat{M_3} (4)\\ (3)(4) \Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{M_2}=\widehat{M_3} \\ \Rightarrow \widehat{M_1}+\widehat{M_2}+\widehat{M_3} =\dfrac{3}{2}\\ (\widehat{M_2}+\widehat{M_3} )\\ \Rightarrow \widehat{HMC} =\dfrac{3}{2}\widehat{NMC}=\dfrac{3}{2}\widehat{ADC}=105^\circ (\text{do }MN//AD).$