Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. a) Tứ giác ADME là hình gì? Tại sao ? b) CMR : DE = 1/2 BC c) Gọi P là trung điểm của BM; Q là trung điểm của MC. CMR: Tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM. d) Tam giác ABC vuông ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật ?

$\\$

$a,$

Tứ giác $ADME$ có :

$\widehat{A}=90^o$ (gt)

$\widehat{ADM}=90^o(MD\bot AB)$

$\widehat{AEM}=90^o(ME\bot AC)$

$\Rightarrow ADME$ là hình chữ nhật

$b,$

$ADME$ là hình chữ nhật (cmt), $DE$ và $AM$ là 2 đường chéo

$\Rightarrow AM=DE$

$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có :

$AM$ là đường trung tuyến (gt)

$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow DE=\dfrac{1}{2}BC$

$c,$

$MP=\dfrac{1}{2}BM, MQ=\dfrac{1}{2}BM\\\Rightarrow MP + MQ = \dfrac{1}{2}BC$

Mà $DE=\dfrac{1}{2}BC$ (cmt)

$\Rightarrow DE=PQ$

$\triangle BDM$ vuông tại $D$ có :

$DP$ là đường trung tuyến (gt)

$\Rightarrow DP=\dfrac{1}{2}BM$

$\triangle MEC$ vuông tại $E$ có :

$EQ$ là đường trung tuyến (gt)

$\Rightarrow EQ=\dfrac{1}{2}CM$

Do đó : $DP=EQ$

Tứ giác $DPQE$ có :

$DP=QE, DE=PQ$ (cmt)

$\Rightarrow DPQE$ là hình bình hành

Gọi $O$ là tâm đối xứng hình bình hành $DPQE$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $PE,QD$

$\triangle PEQ$ có :

$O$ là trung điểm của $PE$ (cmt)

$M$ là trung điểm của $PQ(PM=MQ=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{1}{2}CM$)

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của $\triangle PQE$

$\Rightarrow OM//QE(1)$

$AM=\dfrac{1}{2}BC, CM=\dfrac{1}{2}BC$ (cmt, gt)

$\Rightarrow AM=CM$

$\Rightarrow \triangle AMC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

$EQ=\dfrac{1}{2}CM, CQ=\dfrac{1}{2}CM$ (cmt, gt)

$\Rightarrow EQ=CQ$

$\Rightarrow \triangle QEC$ cân tại $Q$

$\Rightarrow \widehat{QEC}=\widehat{MCA}$

Do đó : $\widehat{MAC}=\widehat{QCE}$

$\Rightarrow AM//QE(2)$

$(1)(2)\Rightarrow A,O,M$ thẳng hàng

Hay tâm đối xứng hình bình hành $DPQE$ nằm trên $AM$

$d,$

$DPQE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{EDP}=\widehat{DPQ}=\widehat{PQE}=\widehat{QED}=90^o$

$\widehat{DPQ}=90^o\Rightarrow \widehat{DPB}=90^o$

$DP=\dfrac{1}{2}BM, BP=\dfrac{1}{2}BM$

$\Rightarrow DP=BP$

$\Rightarrow \triangle DPB$ vuông cân tại $P$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=45^o(3)$

$\widehat{PQE}=90^o\Rightarrow \widehat{EQC}=90^o$

$\Rightarrow \triangle QEC$ vuông cân tại $Q$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=45^o(4)$

$(3)(4)\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^o$

$\Rightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$

Vậy $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ để $DPQE$ là hình chữ nhật