Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Lấy $N$ đối xứng $M$ qua $O$

$ => AMCN $ là hbh $ => AN = MC; MN = 2MO$

$ AMC = 180^{0} - MAN  => cosMAN = - cosAMC$

Áp dụng định lý hàm số cosin lần lượt cho tam giác 

$ AMC; AMN$ ta có:

$ AC^{2} = MA^{2} + MC^{2} - 2MA.MC.cosAMC$

$ <=> 2a^{2} = MA^{2} + MC^{2} - 2MA.MC.cosAMC (1)$

$ MN^{2} = MA^{2} + AN^{2} - 2MA.AN.cosMAN$

$ <=> 4MO^{2} = MA^{2} + MC^{2} + 2MA.MC.cosAMC (2)$

$ (1) + (2) : 2MO^{2} + a^{2} = MA^{2} + MC^{2}$

Tương tự $ : 2MO^{2} + a^{2} = MB^{2} + MD^{2}$

$ => 4MO^{2} + 2a^{2} = MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2}$