Một vật thể có hai đáy trong đó đáy lớn là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, trục bé bằng là 4 và đáy bé là một hình elip có độ dài trục lớn là 4, trục bé là 2. Thiết diện vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của hai đáy luôn là một hình elip, biết chiều cao của vật thể là 4. Tính thể tích của vật thể này.

Đáp án: $V=\dfrac{224\pi}{3}$

Giải thích các bước giải:

Gọi trục lớn, trục nhỏ, chiều cao lần lượt là $(a,A), (b,B),H$

Đặt vào hệ trục tọa độ như hình vẽ với $a=4,b=2,A=8,B=4,H=4$

$A(x)$ là thiết diện vuông góc với đường thẳng nối hai tâm của hai đáy có trục lớn và trục nhỏ được tìm bằng việc sử dụng định lý Ta-lét (hình vẽ):

Trục lớn: $a+(A-a)\dfrac{x}{H}$

Trục nhỏ: $b+(B-b)\dfrac{x}{H}$

Vì $A(x)$ là elip nên diện tích $A(x)$ là:
$A(x)=\pi\left[{a+(A-a)\dfrac{x}{H}}\right]\left[{b+(B-b)\dfrac{x}{H}}\right]=\pi\left[{ab+(bA+aB-2ab)\dfrac{x}{H}+(AB-aB-bA+ab)\left({\dfrac{x}{H}}\right)^2}\right]$

$\to V=\displaystyle\int\limits^H_0A(x)dx$

$=\displaystyle\int\limits^H_0\pi\left[{ab+(bA+aB-2ab)\dfrac{x}{H}+(AB-aB-bA+ab)\left({\dfrac{x}{H}}\right)^2}\right]dx$

$=\dfrac{\pi H}{6}\left[{(2A+a)B+(A+2a)b}\right]$

$=\dfrac{\pi\cdot4}{6}\left[{(2\cdot8+4)\cdot4+(8+2\cdot4)\cdot2}\right]=\dfrac{224\pi}{3}$