$\frac{a^3+b^3}{ab}$ + $\frac{b^3+c^3}{bc}$ + $\frac{c^3+a^3}{ca}$ ≥ $2(a+b+c)$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Ta có: `(a^3+b^3)/(ab)+(b^3+c^3)/(bc)+(c^3+a^3)/(ca)`

       `=(a^2/b+b^2/a)+(b^2/c+c^2/b)+(c^2/a+a^2/c)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `2` số dương `a^2/b` và `b` có:

 `a^2/b+b>=2sqrt{a^2/b.b}=2|a|=2a` (vì `a>0`)             `(1)`

Tương tự chứng minh được:

 `b^2/a+a>=2b`           `(2)`

 `b^2/c+c>=2b`           `(3)`

 `c^2/b+b>=2c`           `(4)`

 `c^2/a+a>=2c`            `(5)`

 `a^2/c+c>=2a`             `(6)`

Cộng `(1), (2), (3), (4), (5), (6)` vế theo vế ta được:

 `a^2/b+b+b^2/a+a+b^2/c+c+c^2/b+b+c^2/a+a+a^2/c+c>=2a+2b+2b+2c+2c+2a`

`<=>(a^2/b+b^2/a)+(b^2/c+c^2/b)+(c^2/a+a^2/c)>=2a+2b+2b+2c+2c+2a-a-a-b-b-c-c`

`<=>(a^3+b^3)/(ab)+(b^3+c^3)/(bc)+(c^3+a^3)/(ca)>=2a+2b+2c`

`<=>(a^3+b^3)/(ab)+(b^3+c^3)/(bc)+(c^3+a^3)/(ca)>=2(a+b+c)``\text{(đpcm)}`