Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi H là trung điểm OA. Dây CD vuông góc với OA tại H. 1. Tứ giác ACOD là hình gì? Tại sao? 2. Chứng minh các tam giác OAC và CBD là các tam giác đều. 3. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng. 4. Chứng minh đẳng thức CD2 = 4 AH. HB .

Giải thích các bước giải:

a) Xét `(O)` có đường kính `AB` vuông góc với dây cung `CD` tại `H`

`=> H` là trung điểm của `CD`

mà `H` là trung điểm của `AO`

`=> ACOD` là hình bình hành

lại có `CD⊥AO => ACOD` là hình thoi

2) Xét `(O)` có: `OA=OC =` bán kính 

 mà `AC=OC (ACOD` là hình thoi)

`=> OA=OC=AC => ΔOAC` đều `=> \hat{AOC}=60^0`

Xét `(O)` có: `\hat{AOC}` là góc ở tâm chắn cung `AC`

                  `\hat{ABC}` là góc nội tiếp chắn cung `AC`

`=> \hat{ABC}=1/2 \hat{AOC} = 1/2 . 60^0 =30^0`

Xét `ΔBCD` có: `BH` vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

`=> ΔBCD` cân tại `B; BH` là phân giác của `\hat{CBD}`

`=> \hat{CBD}=2\hat{ABC}=2.30^0 = 60^0`

`=> ΔBCD` đều

3) `AB` là đường kính của `(O) => OB=OA=1/2 AB`

`H` là trung điểm của `OA => AH=OH=1/2 OA`

`=> OH=1/2 BO`

Mà `OH+BO=BH => 1/2 BO+ BO=BH`

      `=> 3/2 BO= BH => BO=2/3 BH`

Xét `ΔCBD` có: `BH` là đường trung tuyến; `BO=2/3 BH`

`=> O` là trọng tâm `ΔCBD`

lại có `DM` là đường trung tuyến (`M` là trung điểm của `BC`)

`=> D;O; M` thẳng hàng

4) Xét `(O)` có `\hat{ADB}` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

`=> \hat{ADB}=90^0`

lại có `CD⊥OA` tại `H=> ΔADB` vuông tại `D` có đường cao `DH`

`=> BD^2=HB.AB` (hệ thức lượng)

`ΔCBD` đều `=> CD=BD`

`AH=1/2 OA; OA=1/2 AB => AH=1/4 AB => AB=4AH`

Vậy `CD^2=4AH.HB`