cm bất đẳng thức (a^2+b^2)/ab+ab/(a^2+b^2)>=5/2 với mọi x,y>0

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{4ab}} + \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{4ab}}.\frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}}}  = 2.\frac{1}{2} = 1\\
{a^2} + {b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}}  = 2ab\\
 \Rightarrow \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{4ab}} \ge \frac{{3.2ab}}{{4ab}} = \frac{3}{2}\\
 \Rightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} + \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{3\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{4ab}} + \left[ {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{4ab}} + \frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right] \ge \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}
\end{array}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)