cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Chứng minh : HB/HC = (AB/AC)^2 b) Kẻ HM vuông góc với AB ,HN Vuông góc với AC (M thuộc AB, N thuộc AC). Chứng minh AB^3/AC^3 =BM/CN c) Chứng minh AH^3 =BC.BM.CN

$$\eqalign{ & a)\,\,Ap\,\,dung\,\,HTL\,trong\,\,{\Delta _v}ABC: \cr & A{B^2} = HB.BC \cr & A{C^2} = HC.BC \cr & \Rightarrow {{A{B^2}} \over {A{C^2}}} = {{HB} \over {HC}} = {\left( {{{AB} \over {AC}}} \right)^2} \cr & b)\,\, \cr & Ap\,\,dung\,\,HTL\,\,trong\,\,{\Delta _v}AHB:\,\,BM = {{B{H^2}} \over {AB}} \cr & Ap\,\,dung\,\,HTL\,\,trong\,\,{\Delta _v}AHC:\,\,CN = {{C{H^2}} \over {AC}} \cr & \Rightarrow {{BM} \over {CN}} = {{B{H^2}} \over {AB}}.{{AC} \over {C{H^2}}} = {\left( {{{BH} \over {CH}}} \right)^2}.{{AC} \over {AB}} = {\left( {{{AB} \over {AC}}} \right)^4}.{{AC} \over {AB}} = {\left( {{{AB} \over {AC}}} \right)^3} = {{A{B^3}} \over {A{C^3}}} \cr & c)\,\,A{H^3} = BC.BM.CN \cr & BC.BM.CN = BC.{{B{H^2}} \over {AB}}.{{C{H^2}} \over {AC}} \cr & = {{BC.{{\left( {BH.CH} \right)}^2}} \over {AB.AC}} = {{BC.A{H^4}} \over {AH.BC}} = A{H^3} \cr} $$