Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) a) Chứng minh các cặp mặt phẳng sau vuông góc nhau: (SAB) và (SAD); (SBC) và (SAB); (SCD) và (SAD) b) Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD) c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. Chứng minh rằng (SCD) vuông góc với (AI J) d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD)

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{I}AB\bot AD\text{ (do ABCD là hình vuông)}\\AB\bot SA\text{ (do SA vuông góc với (ABCD))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow AB\bot(SAD)$ mà $AB\subset(SAB)$

$\Rightarrow (SAB)\bot(SAD)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}BC\bot AB\text{ (do ABCD là hình vuông)}\\BC\bot SA\text{ (do SA vuông góc với (ABCD))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$ mà $BC\subset(SBC)$

$\Rightarrow (SBC)\bot(SAB)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}CD\bot AD\text{ (do ABCD là hình vuông)}\\CD\bot SA\text{ (do SA vuông góc với (ABCD))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow CD\bot(SAD)$ mà $CD\subset(SCD)$

$\Rightarrow (SCD)\bot(SAD)$

b)

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}BD\bot AC\text{ (do ABCD là hình vuông)}\\BD\bot SA\text{ (do SA vuông góc với (ABCD))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow BD\bot(SAC)$ mà $BD\subset(SAC)$

$\Rightarrow (SBD)\bot(SAC)$

c)

Ta có: $\left\{\begin{array}{I}BC\bot AB\text{ (do ABCD là hình vuông)}\\BC\bot SA\text{ (do SA vuông góc với (ABCD))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow BC\bot(SAB)$ mà $AI\subset(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot AI$

$AI\bot SB$ (giả thiết)

$BC, SB\subset(SBC)\Rightarrow AI\bot(SBC)$

Do $SC\subset(SBC)\Rightarrow AI\bot SC$

Mà $AJ\bot SC$

$AI,AJ\subset(AIJ)\Rightarrow SC\bot(AIJ)$

d)

$(SBC)\cap(ABCD)=BC$

$SB\bot BC$ (do $BC\bot(SAB)$ cmt)

$AB\bot BC$

$\widehat{((SBC),(ABCD))}=(SB,AB)=\widehat{SBA}$

Mà $\Delta SAB\bot A$ có $SA=AB=a$ nên $\Delta SAB$ vuông cân đỉnh $A$

Nên $\widehat{SBA}=45^o=\widehat{((SBC),(ABCD))}$

$\Delta SAB=\Delta SAD$ (c.g.c)

$\Rightarrow SB=SD\Rightarrow SBD$ cân đỉnh $S$ có $O$ là trung điểm của $BD$ nên $SO\bot BD$

$(SBD)\cap(ABCD)=BD$

$SO\bot BD$

$AC\bot BD$

$\Rightarrow \widehat{((SBD),(ABCD))}=(SO,AC)$

Xét $\Delta SAO\bot A$ có: $SA=a,AO=\dfrac{a\sqrt2}{2}$

$\tan\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\sqrt2$

$\Rightarrow\widehat{SOA}=\arctan\sqrt2= \widehat{((SBD),(ABCD))}$