Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. a) Chứng minh 4 điểm F, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh DA.DE = DB.DC. c) Chứng minh góc CFD = góc OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB= 2.

Giải thích các bước giải:

a. Ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{AEB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

$\Rightarrow\widehat{FCD}=\widehat{FED}=90^o$ (kề bù)
$\to \widehat{FCD}+\widehat{FED}=90^o+90^o=180^o$

$\to F,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn đường kính (FD)

b. Xét $\Delta DCA$ và $\Delta DEB$ có:

$\widehat{ACD}=\widehat{BED}=90^o$,

$\widehat{CDA}=\widehat{EDB}$ (đối đỉnh)

$\to\Delta DCA\sim\Delta DEB(g.g)$

$\to\dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DA}{DB}\to DA.DE=DB.DC$

c, Ta có: $FCDE$ nội tiếp đường tròn đường kính (FD)

$\to\widehat{CFD}=\widehat{CED}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

$\widehat{CED}=\widehat{CEA}=\widehat{CBA}$ (góc nội tiếp của đường tròn (O) cùng chắn cung AC)

$\widehat{CBA}=\widehat{CBO}=\widehat{OCB}$ ($\Delta OBC$ cân đỉnh O)

$\to \widehat{CFD}=\widehat{OCB}$

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE$\to I$ là trung điểm DF

$\to \widehat{ICF}=\widehat{IFC}=\widehat{CFD}=\widehat{OCB}$
$\to \widehat{OCI}=\widehat{OCB}+\widehat{BCI}=\widehat{FCI}+\widehat{ICB}=\widehat{FCB}=90^o$

$\to IC$ là tiếp tuyến của (O)

d. Ta có: $FD=R\to IC=ID=IF=IE=\dfrac R2$

Ta có : $IC=IE, OC=OE\to IO$ là trung trực của CE

$\to \widehat{CIE}=2\widehat{CIO}$

Mà $\widehat{CIE}=2\widehat{CFE}$ góc ở tâm bằng 2 lần góc nội tiếp

$\to \widehat{CFE}=\widehat{CIO}$

$\to \widehat{AFB}=\widehat{CIO}\to \tan\widehat{AFB}=\tan\widehat{CIO}=\dfrac{CO}{CI}=\dfrac{R}{\dfrac R2}=2$