Câu 1: Cho `n` là số tự nhiên lẻ. Chứng minh `n^3-n` chia hết cho 24. Câu 2: Tìm số tự nhiên `n` để `n^2+4n+2013` là số chính phương.

$\\$

Câu `1.`

`n^3 - n`

` = n (n^2-1)`

`= n (n-1)(n+1)`

Nhận xét : `n(n-1)(n+1)` là tích 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 3 số `\vdots 3`

`=>n(n-1)(n+1)\vdots 3(1)`

Do `n` là số tự nhiên lẻ nên `n` có dạng : `2k+1(k∈NN^**)`

Khi đó :

`n(n-1)(n+1)`

`= (2k+1)(2k+1-1)(2k+1+1)`

`= (2k+1).2k . (2k+2)`

`= 2 . 2k . (2k+1) . (k+1)`

`= 4k (k+1)(2k+1)`

Nhận xét : `k(k+1)` là tích 2 số nguyên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 3 số `\vdots 2`

`=>k(k+1)\vdots 2`

`=> 4k (k+1)(2k+1) \vdots 8(2)`

Nhận xét : `(3;8)=1`

Do đó :

`n^3 - n\vdots (3.8)`

`=> n^3-n\vdots 24`

Câu `2.`

Đặt `n^2+4n+2013=B^2(B∈NN)`

`=> (n^2+4n+4)+2009 = B^2`

`=> (n+2)^2+2009 = B^2`

`=> 2009 = B^2-(n+2)^2`

`=> 2009 = (B-n-2)(B+n+2)`

Nhận xét : `B-n-2 < B + n+2` và `B,n∈NN`

TH1 : `B-n-2=1, B+n+2=2009`

`=> n+2=B-1, n+2=2009 - B`

Cộng theo vế ta được :

`2n+4=2008`

`=> n=1002` (tm)

`=>B=1005` (tm)

TH2 : `B-n-2=-2009, B+n+2=-1`

`=>n+2=B+2009, n+2=-1-B`

Cộng theo vế ta được :

`2n+4=2008`

`=> n=1002` (tm)

`=>B=1005` (tm)

Vậy `n=1002` để `n^2+4n+2013` là SCP