giúp e câu cuối với ạ cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=27cm, AC=36cm. a) Tính số đo các góc nhọn trong tam giác ABC. b) Vẽ đường thẳng vuông góc với đoạn thang BC tại điểm B, đường thẳng này cắt tia CA tại giao điểm D. Tính chiều dài AD. c) Vẽ điểm E đối xứng với A qua đường thẳng BC. Không tính độ dài đoạn thẳng AE, CMR: 1/AE^2=1/4AB^2 + 1/4AC^2 d) Trên nửa mặt phẳng có bờ BC không chứa điểm A, lấy điểm M sao cho tam giác MBC vuông cân tại M. Chứng minh: AM là tia phân giác của góc BAC

Đáp án:

a) `\hat{ABC}≈53^0; \hat{ACB}≈37^0`

b) `AD=20,25cm`

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> \hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0`

`tan\hat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{36}{27}=4/3`

`=> \hat{ABC}≈53^0`

`\hat{ACB}=90^0-\hat{ABC}≈37^0`

b) `ΔABC` vuông tại `A` 

`=> BC^2=AB^2+AC^2=27^2+36^2`

`=> BC=45cm`

`ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC; AB⊥CD`

mà `BD⊥BC => ΔBDC` vuông tại `B` có đường cao `AB`

`=> BC^2=CD.AC` (hệ thức lượng)

`=> 45^2=CD.36 => CD=56,25cm`

`AD+AC=CD => AD+36=56,25 => AD=20,25cm`

c) `E` đối xứng với `A` qua đường thẳng `BC`

`=> BC` là đường trung trực của `AE`

Gọi `I` là giao điểm của `AE` và `BC`

`=> AI⊥BC; I` là trung điểm của `AE`

`=> AI=1/2 AE `

`ΔABC` vuông tại `A` có đường cao `AI (AI⊥BC)` có:

$\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$ (hệ thức lượng)

mà `AI=1/2 AE` 

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}AE} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{4A{B^2}}} + \dfrac{1}{{4A{C^2}}} \end{array}$

d) `ΔABC` vuông tại `A => \hat{BAC}=90^0`

`ΔMBC` vuông cân tại `M => \hat{BMC}=90^0; \hat{MBC}=\hat{MCB}`

Xét tứ giác `ABMC` có:

`\hat{BAC}+\hat{BMC}=90^0+90^0=180^0`

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

`=> ABMC` là tứ giác nội tiếp

`=> \hat{BAM}=\hat{MCB}` (cùng chắn cung `BM)`

      `\hat{CAM}=\hat{MBC}` (cùng chắn cung `MC)`

mà `\hat{MCB}=\hat{MBC}` (cmt)

`=> \hat{BAM}=\hat{CAM}`

`=> AM` là tia phân giác của `\hat{BAC}`