Cho tam giác ABC vuông ở A,AB=3cm,AC=4cm a,Giải tam giác ABC b,Gọi I là trung điểm của BC,vẽ AH vuông góc BC.Tính AH,AI c,Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AI.Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt xy tại điểm M,đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt xy tại điểm N.Chứng minh:MB.NC=BC mũ 2 trên 4 d,Gọi K là trung điểm của AH. CM 3 điểm B,K,N thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=25$

$\to BC=5$

$\to \sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$

$\to \hat B\approx 53^o$ 

$\to \hat C=90^o-\hat B=37^o$

b.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$

$\to AH\cdot BC=AB\cdot AC\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12}5$

   Vì $I$ là trung điểm $BC\to AI=IB=IC=\dfrac12BC=\dfrac{5}2$

c.Xét $\Delta AMI,\Delta BMI$ có:

$IA=IB$

$\widehat{IAM}=\widehat{IBM}=90^o$

Chung $IM$

$\to \Delta AIM=\Delta BIM$(cạnh huyền-góc cạnh góc vuông)

$\to MB=MA, \widehat{AIM}=\widehat{BIM}\to IM$ là phân giác $\widehat{AIB}$

Tương tự $NA=NC, IN$ là phân giác $\widehat{AIC}$

Do $\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o\to IM\perp IN$

$\to \Delta IMN$ vuông tại $I$

Mà $IA\perp MN$

$\to MB\cdot NC=AM\cdot AN=IA^2=(\dfrac{BC}2)^2=\dfrac{BC^2}4$

d.Ta có: $NA=NC, IA=IC\to IN$ là trung trực $AC\to IN\perp AC$

Mà $AB\perp AC\to IN//AB$

Gọi $AB\cap CN=D$

$\to IN$//BD$

Do $I$ là trung điểm $BC\to IN$ là đường trung bình $\Delta BCD$

$\to N$ là trung điểm $CD$

Ta có: $AH//CD(\perp BC)$

$\to \dfrac{BH}{BC}=\dfrac{AH}{CD}=\dfrac{2HK}{2CN}=\dfrac{HK}{CN}$

Mà $\widehat{KHB}=\widehat{NCB}(=90^o)$

$\to \Delta BHK\sim\Delta BCN(c.g.c)$

$\to\widehat{KBH}=\widehat{NBC}$

$\to B, K, N$ thẳng hàng